삼각형의 외심·내심·무게중심 탐구

삼각형의 네 중심

• 외심 O: 세 변의 수직이등분선이 만나는 점이에요. 세 꼭짓점까지의 거리가 같아서 O를 중심으로 세 꼭짓점을 지나는 외접원을 그릴 수 있어요. 예각삼각형은 안쪽, 직각삼각형은 빗변의 중점, 둔각삼각형은 바깥에 생겨요.
• 내심 I: 세 내각의 이등분선이 만나는 점이에요. 세 변까지의 거리가 같아서 I를 중심으로 세 변에 접하는 내접원을 그릴 수 있어요. 내심은 항상 삼각형 안에 있어요.
• 무게중심 G: 세 중선(꼭짓점과 마주 보는 변의 중점을 이은 선분)이 만나는 점이에요. 각 중선을 꼭짓점에서부터 2 : 1로 나누고, 좌표는 세 꼭짓점 좌표의 평균이에요.
• 수심 H: 각 꼭짓점에서 마주 보는 변(또는 연장선)에 내린 수선이 만나는 점이에요.

이렇게 탐구해 보세요

꼭짓점 C를 끌어서 ∠C를 90°보다 크게 만들어 보세요. 외심과 수심이 삼각형 밖으로 나가는 것을 볼 수 있어요. ‘직각삼각형’ 버튼을 누르면 외심이 빗변의 중점에 오고, 수심이 직각인 꼭짓점과 겹쳐요. ‘정삼각형’에서는 네 점이 한 점에 모여요. ‘오일러 직선’을 켜면 정삼각형이 아닌 모든 삼각형에서 외심, 무게중심, 수심이 한 직선 위에 있고 OG : GH = 1 : 2라는 것도 확인할 수 있어요.

계산 방법

외심은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점을 연립방정식으로 구하고, 내심은 변의 길이를 가중치로 한 평균 (aA + bB + cC)/(a + b + c), 무게중심은 (A + B + C)/3, 수심은 오일러 직선 관계 H = A + B + C − 2O로 계산해요. 외접원 반지름은 R = abc/4S, 내접원 반지름은 r = 2S/(a + b + c)예요(S는 넓이). 좌표는 0.1 단위로 맞춰지고, 키보드로는 그림을 선택한 뒤 1·2·3으로 꼭짓점을 고르고 방향키로 움직일 수 있어요.

참고한 자료

• 교육부 고시 2022 개정 수학과 교육과정 (중학교 삼각형의 성질)