이차함수 그래프 탐구

a, b, c가 포물선을 어떻게 바꿀까요?

• a는 모양을 정해요. a > 0이면 아래로 볼록, a < 0이면 위로 볼록이고, |a|가 클수록 폭이 좁아져요. a = 0이면 이차함수가 아니라 직선이 돼요.
• c는 y절편이에요. c만 바꾸면 그래프가 위아래로만 움직여요.
• b를 바꾸면 꼭짓점이 포물선 모양의 길(y = −ax² + c)을 따라 움직여요. 대칭축은 x = −b/2a예요.

표준형과 꼭짓점

y = ax² + bx + c를 완전제곱식으로 바꾸면 y = a(x − p)² + q (p = −b/2a, q = c − b²/4a)가 돼요. 이 꼴에서 꼭짓점은 (p, q)이고, 그래프는 y = ax²를 x축 방향으로 p, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 것이에요. ‘표준형’을 고르면 p와 q를 직접 바꿀 수 있고, 그래프의 꼭짓점(●)을 끌어도 평행이동을 확인할 수 있어요. 끌면 0.1 단위(범위 ±20 이상에서는 0.5 단위)로 맞춰져요.

판별식과 x축과의 교점

판별식 D = b² − 4ac의 부호로 그래프와 x축의 위치 관계를 알 수 있어요. D > 0이면 두 점에서 만나고(서로 다른 두 실근), D = 0이면 한 점에서 접하고(중근), D < 0이면 만나지 않아요(허근). x절편은 근의 공식 x = (−b ± √D)/2a로 구하고, 계수가 깔끔한 수이면 분수와 근호 꼴로, 아니면 소수로 보여 줘요.

‘지금 그래프 남기기’를 누르면 현재 그래프를 회색 점선으로 남겨서 a·b·c를 바꾼 뒤와 비교할 수 있어요(6개까지). PNG로 저장하면 식이 함께 들어가서 수업 자료나 보고서에 바로 쓸 수 있어요.

참고한 자료

• 교육부 고시 2022 개정 수학과 교육과정 (중학교 이차함수와 그래프)