행렬 계산기

분수로 정확하게 계산하는 행렬 계산기

A와 B 두 행렬의 크기(최대 8×8)를 고르고 칸에 숫자를 넣은 뒤 원하는 계산 버튼을 누르세요. 엑셀이나 메모장에서 복사한 표는 ‘붙여 넣기’ 칸에 넣으면 크기가 자동으로 맞춰져요. 모든 계산은 분수(유리수)로 하기 때문에 1/3이 0.333…으로 바뀌며 생기는 반올림 오차가 없어요. 결과도 기약분수로 보여 줘요.

행렬식과 역행렬

행렬식은 2×2이면 ad − bc 공식으로, 3×3 이상이면 행 연산으로 위삼각행렬을 만든 뒤 대각선 성분을 곱해서 구해요. 행을 바꿀 때마다 부호가 바뀌는 것도 단계마다 보여 줘요. 역행렬은 첨가행렬 [A | I]에 가우스–요르단 소거를 해서 왼쪽이 단위행렬이 되면 오른쪽에 나타나요. 행렬식이 0이면 역행렬이 없다고 알려 주고, 구한 역행렬은 A × A⁻¹ = I인지 다시 곱해서 확인해요.

RREF·계수와 고윳값

RREF(기약 행 사다리꼴)는 연립일차방정식의 해를 읽거나 벡터들이 일차독립인지 볼 때 써요. 0이 아닌 행의 수가 계수(rank)예요. 고윳값은 특성다항식 det(λI − A) = 0의 근이에요. 특성다항식은 대각합과 뉴턴 항등식으로 분수 그대로 정확하게 구하고, 근은 수치 계산으로 구해요. 정수나 간단한 분수로 떨어지는 고윳값은 다시 대입해서 정확한 값으로 표시하고, 나머지는 소수 10자리 근삿값(허수 고윳값 포함)으로 보여 줘요.

그 밖에 덧셈·뺄셈(크기가 같아야 해요), 곱셈(A의 열 수 = B의 행 수), 전치, 스칼라배, 거듭제곱(음수면 역행렬의 거듭제곱)을 계산해요. 결과는 탭으로 구분해 복사되므로 엑셀에 그대로 붙여 넣을 수 있어요.

참고한 자료

• SymPy Matrix (det, inv, rref, charpoly — 결과 대조에 쓴 기준)
• NumPy linalg.eigvals (고윳값 대조)