복소수 계산기

복소수를 넣는 방법

복소수는 실수부 a와 허수부 b로 a + bi라고 써요(i² = −1). 이 계산기는 3+4i, -2.5i, 7처럼 직교형식으로 넣어도 되고, 크기 r과 각도 θ를 알면 5∠53.13처럼 극형식으로 넣어도 돼요. 각도 단위는 ‘각도 단위’에서 고르고, 숫자 뒤에 °나 rad를 붙이면 그 단위가 우선이에요. 전기·전자에서 쓰는 j(3+4j)도 i로 읽어요.

계산 원리

• 덧셈·뺄셈은 실수부끼리, 허수부끼리 더하고 빼요.
• 곱셈은 (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i예요. 극형식으로 보면 크기는 곱하고 각도는 더해져요.
• 나눗셈은 분모의 켤레(c−di)를 위아래에 곱해 분모를 실수로 만들어요. 크기는 나누고 각도는 빼요.
• 거듭제곱은 드무아브르 정리 (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ를 써요. 정수 성분이면 곱셈을 반복해 정확한 값을 보여 줘요.
• n제곱근은 크기 ⁿ√r, 각도 (θ + 2πk)/n (k = 0, 1, …, n−1)로 n개가 나오고, 복소평면에서 정n각형의 꼭짓점을 이뤄요.

결과 읽기

결과는 직교형식, 극형식(r∠θ), 지수형식(r·e^(iθ), 오일러 공식 e^(iθ) = cos θ + i sin θ)으로 함께 보여 줘요. 편각은 −180°보다 크고 180° 이하인 주값(atan2)으로 나타내요. 오른쪽 복소평면에는 z₁, z₂, 결과를 화살표로 그려서 곱셈이 ‘회전과 늘이기’라는 것을 눈으로 확인할 수 있어요.

아래 ‘식을 직접 계산’ 칸에는 (2+3i)^2/(1-i), sqrt(-9), exp(i*pi), abs(3+4i) 같은 식을 그대로 넣을 수 있어요. 계산은 수학 라이브러리 math.js로 이 기기 안에서 해요. 부동소수점 계산이라 아주 작은 오차(10⁻¹²보다 작은 값)는 0으로 정리해서 보여 줘요.

참고한 자료

• math.js 복소수 문서 (Apache-2.0)
• NIST DLMF §1.9 복소변수 (극형식·드무아브르 공식)