수열 계산기

등차수열과 등비수열

등차수열은 이웃한 두 항의 차가 일정한 수열이에요(3, 7, 11, 15 …, 공차 d = 4). 일반항은 aₙ = a + (n−1)d이고, 첫째항부터 제n항까지의 합은 Sₙ = n(a + aₙ)/2 = n{2a + (n−1)d}/2예요. 가우스가 1부터 100까지의 합을 (1+100)×100÷2 = 5050으로 구한 방법과 같아요.

등비수열은 이웃한 두 항의 비가 일정한 수열이에요(2, 6, 18, 54 …, 공비 r = 3). 일반항은 aₙ = a·rⁿ⁻¹이고, 합은 r ≠ 1일 때 Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1), r = 1일 때 Sₙ = na예요. |r| < 1이면 항이 계속 작아져서 무한히 더한 합(무한등비급수)이 a/(1 − r)로 수렴해요.

규칙 찾기는 이렇게 해요

‘규칙 찾기’에 앞의 항을 넣으면 먼저 이웃한 항의 차(계차)를 구하고, 계차가 일정해질 때까지 반복해요. 1계차가 일정하면 등차수열, 2계차가 일정하면 일반항이 n의 2차식인 수열이에요(예: 2, 5, 10, 17, 26 → aₙ = n² + 1). 계차가 일정해진 것을 확인하려면 차수보다 2개 이상 많은 항이 필요해서, 확인할 수 없으면 규칙을 단정하지 않아요. 계차로 찾지 못하면 이웃한 두 항의 비가 모두 같은지 보고 등비수열인지 확인해요.

정확한 분수 계산

모든 계산은 분자·분모를 큰 정수(BigInt)로 들고 하는 정확한 분수 계산이라, 공비가 1/2이거나 항이 아주 커져도 반올림 오차가 없어요. 결과가 40자리를 넘으면 10의 거듭제곱 꼴로 줄여 보여 줘요. 표는 등차수열은 2,000항, 등비수열과 규칙 찾기는 500항까지 보여 주고 CSV로 저장할 수 있어요.

참고한 자료

• 교육부 고시 2022 개정 수학과 교육과정 (수학Ⅰ 수열 단원)
• NIST DLMF §1.2 유한 급수와 등비급수 공식