순열·조합 계산기

순서를 따지면 순열, 따지지 않으면 조합

5명 가운데 회장·부회장·총무를 뽑는 것처럼 뽑은 뒤 순서(역할)가 다르면 다른 경우로 보는 것이 순열(nPr)이에요. 5명 가운데 대표 3명을 뽑는 것처럼 누가 뽑혔는지만 중요하면 조합(nCr)이에요. 순열은 n부터 1씩 줄여 가며 r개를 곱하고(5P3 = 5 × 4 × 3 = 60), 조합은 그 값을 뽑은 r개를 줄 세우는 방법 r!로 나눠요(5C3 = 60 ÷ 6 = 10).

중복을 허락하는 경우

• 중복순열 nΠr = nʳ — 같은 것을 여러 번 골라도 되고 순서를 따져요. 숫자 0~9로 만드는 네 자리 비밀번호는 10Π4 = 10,000가지예요.
• 중복조합 nHr = (n+r−1)Cr — 같은 것을 여러 번 골라도 되고 순서는 따지지 않아요. 사과·배·귤 세 종류에서 과일 5개를 사는 방법은 3H5 = 7C5 = 21가지예요.
• 원순열 (n−1)! — 원탁에 둘러앉는 것처럼 돌려서 같은 배치는 하나로 봐요.
• 같은 것이 있는 순열 n!/(p!q!…) — AABBB처럼 같은 문자끼리 자리를 바꿔도 같은 경우로 봐요.

정확한 큰 수와 경우 나열

모든 계산은 큰 정수(BigInt)로 해서 52C5 = 2,598,960, 100! 같은 아주 큰 수도 마지막 자리까지 정확하게 보여 줘요. 결과가 5,000가지 이하이면 ‘경우를 모두 나열해 보기’에서 내가 넣은 항목으로 실제 경우를 하나하나 나열하고, 개수가 공식과 같은지 확인해 줘요. 문제를 풀고 답을 직접 세어 보며 확인하기 좋아요. 조합을 고르면 파스칼의 삼각형 줄도 함께 보여 줘서 nCr = (n−1)C(r−1) + (n−1)Cr 관계를 눈으로 볼 수 있어요.

참고한 자료

• Python math.comb · math.perm (결과 대조에 쓴 기준)