단진자 시뮬레이터

진자의 주기는 길이와 중력이 정해요

실에 매단 추를 조금 당겼다 놓으면 일정한 시간 간격으로 왔다 갔다 해요. 한 번 왕복하는 데 걸리는 시간이 주기 T예요. 흔들리는 각이 작을 때 주기는 T = 2π√(L/g)로, 줄 길이 L과 중력 가속도 g만으로 정해지고 추의 질량이나 진폭과는 거의 상관이 없어요(갈릴레이가 발견한 진자의 등시성). 줄 길이를 4배로 하면 주기는 2배가 되고, 중력이 지구의 약 1/6인 달에서는 주기가 약 2.5배 길어져요.

시뮬레이션은 어떻게 계산하나요?

이 도구는 근사 없이 진자의 운동 방정식 θ″ = −(g/L) sin θ − bθ′을 4차 룽게–쿠타 방법으로 0.5 ms보다 작은 간격으로 풀어 움직임을 그려요. 추가 가운데를 왼쪽에서 오른쪽으로 지나는 순간을 기록해 주기를 직접 재고, 이를 작은 각 근사 공식과 정확한 주기(완전 타원 적분을 산술-기하 평균으로 계산)와 나란히 보여 줘요. 처음 각도를 키워 보면 실제 주기가 근사 공식보다 점점 길어지는 것을 확인할 수 있어요.

감쇠와 행성 중력

‘공기 저항’을 올리면 속도에 비례하는 저항이 더해져 진폭이 점점 줄어드는 감쇠 진동이 돼요. 중력 가속도는 지구 표준값(9.806 65 m/s², 국제 약속값)과 달·화성 표면 중력(NASA 행성 자료), 또는 직접 넣은 값 중에서 고를 수 있어요. 실제 지구의 중력 가속도는 위도와 높이에 따라 9.78~9.83 m/s² 정도로 달라요.

그림 위의 추를 손가락이나 마우스로 끌어 원하는 각도에서 놓을 수도 있어요. 과학 실험 보고서의 ‘진자의 길이와 주기’ 실험을 하기 전에 예상값을 계산해 보거나, 측정값과 비교하는 데 써 보세요.

참고한 자료

• NIST — 표준 중력 가속도 g_n = 9.806 65 m/s² (약속값)
• NASA NSSDC — Moon Fact Sheet (표면 중력 1.62 m/s²)
• NASA NSSDC — Mars Fact Sheet (표면 중력 3.71 m/s²)
• NIST DLMF §19.8 산술-기하 평균과 완전 타원 적분