신뢰구간 계산기

모평균의 신뢰구간

표본평균 x̄, 표본표준편차 s, 표본 크기 n이 있으면 모평균의 신뢰구간은 x̄ ± t·s/√n이에요. t는 자유도 n − 1인 t분포에서 신뢰수준에 맞는 임계값(95%면 양쪽 2.5%씩 자른 값)이에요. 표본이 작을수록 t값이 정규분포의 1.96보다 커서 구간이 넓어져요. 모표준편차 σ를 정말로 알고 있는 경우(교과서 문제처럼)에는 ‘σ를 안다고 보고 z로 계산’을 체크하면 x̄ ± z·σ/√n으로 계산해요.

모비율의 신뢰구간 — 세 가지 방법

• 왈드 구간 p̂ ± z√(p̂(1 − p̂)/n): 고등학교 교과서에 나오는 정규근사예요. n이 크고 p̂가 0이나 1에 가깝지 않을 때 잘 맞아요.
• 윌슨 점수 구간: 표본이 작거나 비율이 극단적일 때도 실제 신뢰수준에 가깝게 맞아서 통계 교재에서 많이 권하는 방법이에요. 이 도구의 대표 결과로 보여 줘요.
• 클로퍼-피어슨 구간: 이항분포를 그대로 써서 구한 ‘정확한’ 구간이에요. 실제 신뢰수준이 항상 고른 값 이상이 되도록 보수적이라 가장 넓어요.

해석할 때 주의할 점

95% 신뢰구간은 ‘참값이 이 구간에 있을 확률이 95%’라기보다, ‘같은 방법으로 표본을 뽑아 구간을 만들기를 반복하면 그중 약 95%가 참값을 포함한다’는 뜻이에요. 구간을 좁히려면 표본을 늘려야 하고, 너비는 대략 √n에 반비례해요(4배 늘려야 절반). 계산은 jStat의 t분포·베타분포 함수로 하고, 결과는 SciPy와 statsmodels의 같은 방법과 비교해 확인했어요. 표본이 무작위로 뽑혔다는 전제가 깨지면 신뢰구간도 의미가 약해져요.

참고한 자료

• NIST/SEMATECH e-Handbook §7.2.2.1 평균의 신뢰구간
• NIST/SEMATECH e-Handbook §7.2.4.1 비율의 신뢰구간 (윌슨·정확 구간)
• jStat 통계 라이브러리 (MIT)